Permanente Ströme und elektronische Eigenschaften von Mandelbrot-Quantenringen

Sep 18, 2023

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 5710 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Details zu den Metriken

In dieser Studie untersuchen wir den Dauerstrom und die elektronischen Energieniveaus von Mandelbrot-Quantenringen. Zu diesem Zweck werden drei Arten von Mandelbrot-Quantenringen vorgeschlagen. Darüber hinaus wird die Mandelbrot-Gleichung durch die Einführung des Parameters m verallgemeinert, der die Mandelbrot-Form durch das Hinzufügen neuer Zweige symmetrischer macht. Andererseits kontrolliert der Iterationsparameter M geometrische Mängel. Wir erklären das zur Bildung dieser Strukturen erforderliche Verfahren, einschließlich eines Füllschemas, und lösen dann die resultierende zweidimensionale Schrödinger-Gleichung mithilfe der zentralen Finite-Differenzen-Methode mit gleichmäßiger Verteilung der Netzpunkte. Danach erhalten wir den Dauerstrom in verschiedenen Situationen, einschließlich verschiedener Mandelbrot-Ordnungen und Quantenringformen. Wir zeigen, dass der Dauerstrom unterschiedliche Formen und Intensitäten haben kann, indem wir die beschriebenen geometrischen Parameter der Mandelbrot-Quantenringe ändern. Wir erklären dieses Phänomen, indem wir Symmetrien im Potential und folglich in der Wellenfunktion berücksichtigen.

Ringförmige Quantenpunkte, sogenannte Quantenringe, sind eine beeindruckende Strukturkategorie, da sie die Elektronen auf einer Kreisbahn einschließen können. Aufgrund ihrer einzigartigen physikalischen Eigenschaften stoßen Quantenringe auf großes Interesse. Beispielsweise werden Quantenphasenkohärenzphänomene einschließlich der Aharonov-Casher1- und Aharonov-Bohm2-Effekte in Quantenringen berücksichtigt. Die Quantenringe können mit verschiedenen Methoden hergestellt werden, einschließlich des Tröpfchenätzverfahrens3, des Stranski-Krastanov-Wachstumsmodus4, der Nanolithographie mit einem Rasterkraftmikroskop5 usw. Quantenringsysteme können aus verschiedenen Halbleitermaterialien wie InAs6, GaAs7, InSb8 usw. Dies führt zu erheblichen Veränderungen in der Morphologie und Größe der Quantenringe9,10, was wahrscheinlich zu einer Verbreiterung und Verschiebung der Energieniveaus des Systems führt. Die Quantenringgeometrien haben viele praktische Anwendungen in Nanoelektronik- und Spintronikgeräten, einschließlich Spinschaltern11, einschließlich Spinfiltern12, abstimmbaren Geräten mit reinen Spinströmen13, Spinstrahlteilern14, Solarzellen15, Leuchtdioden16, Terahertz-Detektoren17,18 usw. Für diesen Zweck unterschiedlich Bisher betrachtete Formen sind mehrschalige Quantenringe19, dreieckige Quantenringe20, chirale toroidale Kohlenstoffnanoröhren21, Hubbard-Ringe mit wenigen Standorten und Kopplung bis zum zweitnächsten Nachbarn, eingebettet in eine ringförmige Leitung22, ballistische zylindrische Nanostrukturen23 und durch ein Quantum gestörte Ringe well24 usw.

In einer bahnbrechenden Arbeit (983) schlugen Buttiker, Imry und Landauer einen Gleichgewichtsstrom vor, der in einem isolierten eindimensionalen Metallring auftreten kann, der von einem magnetischen Fluss ohne Verlust durchdrungen wird25. Diese Ströme sind eine Folge der Quanteninterferenz der elektronischen Wellenfunktionen. Dieses Phänomen wird auch experimentell in mesoskopischen Ringen beobachtet26,27. Dieser durchdringende magnetische Fluss kann auch zu Aharonov-Bohm-Phänomenen führen2. Bisher wurde die Auswirkung verschiedener Parameter auf die Dauerströme untersucht, wie z. B. die topologische Kantenstörung28, die Elektron-Elektron-Wechselwirkungen29, die ungerade-gerade Breite30, das elektrische Feld31, die Elektron-Phonon-Wechselwirkung32, die Spin-Bahn-Kopplung33, die Streuung von Verunreinigungen34 und die Torsion35 , usw.

Fraktale werden normalerweise als „Menge definiert, deren Hausdorff-Dimension die topologische Dimension überschreitet“. Einige fraktale Eigenschaften umfassen rekursive Selbstsymmetrie, Unendlichkeit und Bruchdimension. Die raumfüllende Selbstsymmetrie und die Bruchdimension sind jedoch die wichtigsten Eigenschaften für empirische Anwendungen. Mit der „Ersetzungsregel“ können Fraktale in seltsamen Formen erzeugt werden. Daher behält ein Fraktal seine geometrischen Details trotz Vergrößerung (dh Skalierung). Diese Strukturen sind bei einer solchen Skalierung unveränderlich, dass sie mithilfe einer einzelnen Zahl (dh der fraktalen Dimension) identifiziert werden können. Der Begriff „Fraktal“ wurde erstmals 1975 von Benoît Mandelbrot geprägt36. Fraktale finden Anwendung in Animations-, Gaming- und Science-Fiction-Filmen37, optischen Eigenschaften halbleitender Nanostrukturen38, optischen Filtern auf Basis der photonischen Thue-Morse-Mehrschichtschichten39, Phononenzuständen40 usw. Man sagt: Die Mandelbrot-Menge ist vielleicht das komplexeste Objekt in der Mathematik und zweifellos eines der faszinierendsten und lohnendsten mathematischen Objekte, die es zu erforschen gilt41. Unsere Motivation auf diese Weise waren die realen experimentellen Strukturen wie Nanoblumen, verzweigte Nanodrähte und Nanobäume42, die keine herkömmlichen einfachen Geometrien aufweisen. Diese Tatsache zwingt uns dazu, kompliziertere realistische Systeme wie Quantenfraktale zu untersuchen.

Eine ganz besondere Eigenschaft von Fraktalen, die es in anderen Systemen nicht gibt, ist ihre Skalierungsinvarianz. Diese Eigenschaft macht sie sehr gut für praktische Zwecke geeignet, bei denen die Experimentatoren eine Studie auf verschiedenen Skalen durchführen können. Darüber hinaus würden die Experimente auf den verschiedenen Skalen zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen führen, selbst wenn die geometrische Form der Strukturen gleich wäre. Dies gilt sowohl für Einzel- als auch für Mehrteilchensysteme. Außerdem haben die winzigen Merkmale der Mandelbrot-Struktur, die an den Rändern weniger sichtbar sind, normalerweise weniger Einfluss auf die Wellenfunktion, die Energie und den Strom. Daher ist es in der Praxis nicht erforderlich, ein „Mandelbrot“ auf hoher Ebene genau zu formen, da dies als schwierig und komplex gilt. Allerdings lassen sich solche Symmetrien im numerischen Studium am einfachsten mit fraktalen Formeln simulieren. Natürlich ist es möglich, diese „blumenähnlichen“ Strukturen mit einfacheren Formen wie Kreisen oder Polygonen zu bilden, aber solche hübschen und glatten Strukturen können experimentell kaum hergestellt werden, und in den realen Experimenten wird es nicht glatte Ränder geben, die modelliert werden können andere Möglichkeiten wie die Verwendung von Fraktalen. Außerdem können einige Verteilungsfunktionen verwendet werden, um nicht glatte Grenzen der Struktur zu modellieren. Außerdem heißt es, dass die einheitlichen selbstorganisierten QRs mit idealer Geometrie gezüchtet werden müssen, um Quanteneffekte zu beobachten und für ihre praktischen Anwendungen43. Wir haben versucht, es zu testen. Auch die Lösung der Schrödinger-Gleichung mit einer fraktalen Potentialgrenze könnte aufgrund der nicht ganzzahligen Dimension der fraktalen Potentialgeometrie die gewöhnliche Quantenmechanik mit dem Quantenchaos verbinden44. In der Zwischenzeit kann diese fraktale Geometrie interessant sein, da sie die Flugbahnen der Elektronen im System beeinflussen kann. Es ist jedoch auch bekannt, dass das Elektronenspektrum einige fraktale Strukturen wie den Hofstadter-Schmetterling45 erzeugen kann, wenn sie in ein Magnetfeld gebracht werden. Daher ist es wichtig, das Energiespektrum zu untersuchen, wenn die Elektronen in einer fraktalen Struktur platziert werden.

In der aktuellen Forschung wollen wir den Effekt der Mandelbrot-Fraktalität auf den persistenten Strom von AlxGa1-xAs-Quantenringen untersuchen. Zu diesem Zweck haben wir drei Arten von Mandelbrot-Ringen betrachtet, die in den nächsten Abschnitten veranschaulicht werden. Solche Studien haben unterschiedliche Anwendungen wie die Bildung eines Qubits46 und kohärente Nanoelektronik47. Diese Forschung ist wie folgt organisiert: Im Abschnitt „Formalismus“ haben wir den Hintergrund des mathematischen Formalismus der persistenten Strombewertung vorgestellt. Im Abschnitt „Numerischer Mandelbrot-Quantenring-Erzeugungsprozess“ haben wir das numerische Verfahren zur Erzeugung von Mandelbrot-Quantenringen beschrieben. Die Ergebnisse haben wir im Abschnitt „Ergebnisse und Diskussionen“ besprochen. Abschließend haben wir im Abschnitt „Schlussfolgerung“ einige abschließende Bemerkungen dargelegt.

Wir untersuchen den Mandelbrot-Quantenring in der xy-Ebene. Zu diesem Zweck lautet die zweidimensionale Schrödinger-Gleichung der effektiven Masseneinhüllendenfunktion für ein Elektron:

wobei der erste Term die kinetische Energie in Gegenwart des Magnetfelds definiert. Außerdem sind e, c, A und m* = (0,067 + 0,083x) m048 die Elektronenladung, die Lichtgeschwindigkeit, das magnetische Vektorpotential bzw. die effektive Masse des Elektrons. Dabei ist m0 die freie Elektronenmasse. Der räumliche Bereich ist ein Rechteck \(\Omega = [A_{x} ,B_{x} ] \times [A_{y} ,B_{y} ]\). Dann verwenden wir die Definition \(\hat{P} = - i\hbar \vec{\nabla }\) und folgen der Ref49, wir haben,

wobei \(\phi\) der gleichmäßige magnetische Fluss ist, der normalerweise über den universellen Flussquanten \(\phi_{0} = \left( {hc/e} \right)\ definiert wird), durchdringt den inneren Quantenring. Das begrenzende Potential \(V(x,y)\) ist definiert als:

wobei im Ga1−xAlxAs/GaAs-System50 wir \(\Delta E_{c} \, = 0,65\Delta E_{g} \left( x \right)\), wobei ∆Eg(x) = 1,247x. Hier ist x der Zusammensetzungsparameter. Wir haben in den Abbildungen drei Arten schematischer Potentialprofile \(V(x,y)\) für Mandelbrot-Quantenringe bereitgestellt. 1, 2, 3. Abbildung 1 zeigt das schematische Potentialprofil V1(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme, bei denen die innere Grenze des Rings ein Kreis ist, die äußere Grenze jedoch dem Mandelbrot-Fraktal m-ter Ordnung folgt. Die Felder (A–L) sind für m = 4–15 dargestellt. In Abb. 2 haben wir das schematische Potentialprofil V2(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme dargestellt, bei dem die äußere Grenze des Rings ein Kreis ist, die innere Grenze jedoch dem Mandelbrot-Fraktal m-ter Ordnung folgt. Die Felder (A–L) sind für m = 4–15 dargestellt. Außerdem zeigt Abb. 3 das schematische Potentialprofil V3(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme. In der ersten Reihe (Felder A bis D) gehorchen die inneren und äußeren Grenzen des Quantenrings zwei Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung (m = 6, 8, 10 und 12). In der zweiten Reihe (Felder E bis H) ist die äußere Grenze des Quantenrings ein Mandelbrot-Fraktal zehnter Ordnung, während die innere Grenze des Quantenrings Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung entspricht (m = 11, 12, 13 und 14). ). In der dritten Reihe (Bilder I–L) ist die innere Grenze des Quantenrings ein Mandelbrot-Fraktal sechster Ordnung, während die äußere Grenze des Quantenrings Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung entspricht (m = 7, 8, 9 und 10). ). Der Generierungsprozess wird im folgenden Abschnitt erläutert.

Schematisches Potentialprofil V1(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme, bei dem die innere Grenze des Rings ein Kreis ist, die äußere Grenze jedoch dem Mandelbrot-Fraktal m-ter Ordnung folgt. Die Felder (A–L) sind für m = 4–15 dargestellt.

Schematisches Potentialprofil V2(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme, bei dem die äußere Grenze des Rings ein Kreis ist, die innere Grenze jedoch dem Mandelbrot-Fraktal m-ter Ordnung folgt. Die Felder (A–L) sind für m = 4–15 dargestellt.

Schematisches Potentialprofil V3(x, y) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme. In der ersten Reihe (Felder A–D) gehorchen die inneren und äußeren Grenzen des Quantenrings zwei Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung (m = 6, 8, 10 und 12). In der zweiten Reihe (Felder E–H) ist die äußere Grenze des Quantenrings ein Mandelbrot-Fraktal zehnter Ordnung, während die innere Grenze des Quantenrings Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung entspricht (m = 11, 12, 13 und 14). ). In der dritten Reihe (Bilder I–L) ist die innere Grenze des Quantenrings ein Mandelbrot-Fraktal sechster Ordnung, während die äußere Grenze des Quantenrings Mandelbrot-Fraktalen m-ter Ordnung entspricht (m = 7, 8, 9 und 10). ).

Schließlich werden mithilfe der Diagonalisierung des Hamilton-Operators (1) die Eigenenergien und Eigenfunktionen erhalten. Bei einer Temperatur von Null und ohne Elektron-Elektron-Wechselwirkungen beträgt der Dauerstrom51,

wobei \(E_{0} (\phi)\) die Grundzustandsenergie definiert.

Die Mandelbrot-Menge kann durch aufeinanderfolgende Iteration von Gleichung erhalten werden. (5) in der komplexen Ebene.

wobei \(c\) und \(z\) komplexe Zahlen sind und m eine rationale Zahl ist. c gehört zur Mandelbrot-Menge, vorausgesetzt, dass \(z\) nach ausreichenden Iterationen von Gl. endlich bleibt. (5). Nehmen wir das an

Dabei sind x und y reelle Zahlen und der Anfangswert von z ist Null. Nach der Diskretisierung der x- und y-Achsen durch Nx- und Ny-Scheiben erhält man ein Punktepaar M = Nx × Ny. Wir gingen von einer willkürlichen Zahl für Nx und Ny aus und erhöhten diese Zahl dann, bis wir konsistente, unveränderliche Ergebnisse für den Strom erhielten. Jedes Paar kann in Gleichung eingesetzt werden. (6) was eine komplexe Zahl für c ergibt. Nun verwenden wir diesen Wert von \(c\) in Gleichung. (5), wo wir es M-mal iterieren, um \(v\left( {x,y} \right)\) wie folgt zu erhalten:

Dieser Vorgang sollte für jedes Punktpaar \(\left( {x,y} \right)\) wiederholt werden. \(\left| z \right|{ } \ne \infty\) wird genau dann erfüllt, wenn \(\left|z\right|\le 2\), das heißt, z entkommt nicht bis unendlich, solange er während der Iterationen gleich oder kleiner als 2 bleibt. Gleichung (7) wurde in „Mandelbrot im Kreis“ verwendet (siehe Abb. 2). Was die Abb. betrifft. 1 und 3, die Umkehrung von Gl. (7) wurde verwendet:

Um \(z^{m} { }in{ }z^{n}\)-Potenziale zu entwerfen, kann man ein Füllschema verwenden. Das Vergrößern einer Matrix kann durch Hinzufügen einer beliebigen Anzahl von Nullen am Anfang und Ende jeder Dimension erfolgen. Zum Beispiel:

Das Addieren zweier Matrizen P und Q mit der Größe p und q, wobei p > q ist, wird realisierbar, solange wir Q auffüllen, sodass q gleich p wird. Nun kann man den Mandelbrot-Potenzialalgorithmus anwenden, um \({ }z^{n}\) und \(z^{m}\) mit beliebiger Größe p und q zu erhalten, wobei p > q. Durch mehrmaliges Auffüllen von \(z^{m} { }\) bis p = q kann man \(z^{m}\)- und \(z^{n}\)-Matrizen hinzufügen, um \(z^) zu erhalten {m} { }in{ }z^{n}\) Potentiale.

Um das beste Potenzialprofil zu erhalten, können wir M unabhängig vom Wert von Nx*Ny wählen, da es sich um unabhängige Parameter handelt. Niedrigere Werte von M weisen jedoch bei der Auswahl mehr geometrische Mängel auf (keine dunkelblauen oder gelben Bereiche in Abb. 4). Ein kleiner Wert für Nx und Ny führt zu ungenauen Ergebnissen bei den Eigenwerten von Energie und Strom. Wir haben verschiedene Werte für Nx und Ny getestet, bis die Eigenenergien konsistent blieben, und wir haben den Wert von M erhöht, bis keine erkennbaren geometrischen Mängel mehr beobachtet wurden.

Mandelbrot-Potenzial, wenn sich die Werte Nx, Ny und M ändern.

Mithilfe der numerischen Lösung der zweidimensionalen Schrödinger-Gleichung haben wir die Energieeigenwerte und die entsprechenden Eigenfunktionen sowie den Dauerstrom der oben genannten Arten von Quantenringen berechnet.

Zunächst betrachten wir das Mandelbrot-Quantenringpotentialprofil V1(x, y) vom Typ 1, das einen inneren kreisförmigen Ringrand und einen äußeren Rand mit Mandelbrot-Form m-ter Ordnung aufweist (siehe Abb. 1). Die Felder (A–L) dieser Abbildung sind für m = 4–15 dargestellt. Tafel (A) in Abb. 5 zeigt acht niedrigste Eigenenergien mit der Iterationszahl m = 4. Auch die Tafeln (B–F) zeigen die gleichen Größen, jedoch für m = 6, 8, 10, 12 bzw. 14. In dieser Abbildung erkennt man die bekannten Aharonov-Bohm-Oszillationen. Das interessante Merkmal dieser Panels ist die nicht kontinuierliche gerade horizontale Variation der Energieniveaus als Funktion des externen magnetischen Flusses in einigen Flussbereichen (dies sind die nicht kontinuierlichen, flussinvarianten Energieniveaus). Wir stellen fest, dass die kontinuierlichen flussinvarianten Energieniveaus an anderer Stelle52, in Tafel (A) der Abbildungen, angegeben sind. 7 oder 11. Darüber hinaus sehen wir, dass diese Geraden auch andere Energieniveaus treffen können. Die Position dieser horizontalen Linien, der Abstand zwischen ihnen und die Anzahl dieser Ebenen variieren mit der Mandelbrot-Iterationszahl m. In Tafel (A) von Abb. 6 haben wir die Variation des Dauerstroms (aufgrund des Energiespektrums von Abb. 5) als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit Mandelbrot-Ordnung dargestellt m = 4, 6 und 8 in Abb. 1. Panel (B) ist das gleiche wie Panel (A), aber für m = 10, 12 und 14. Wie diese Abbildung zeigt, nimmt die Stromamplitude mit zunehmendem Mandelbrot ab Bestellen Sie m. Eine weitere Tatsache ist, dass die maximale Stromamplitude mit zunehmendem magnetischen Fluss \(\phi\) abnimmt.

Panel (A) Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit der Iterationszahl m = 4 in Abb. 1. Panels (B–F) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 6, 8, 10 , 12 bzw. 14.

Panel (A): Variation des Dauerstroms als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit den Iterationszahlen m = 4, 6 und 8 in Abb. 1. Panel (B): Das Gleiche wie Bild (A), jedoch für m = 10, 12 und 14.

Tafel (A) von Abb. 7 zeigt acht niedrigste Eigenenergien für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 2 in Abb. 2. Tafeln (B–D) sind die gleichen wie Tafel (A), jedoch für m = 3, 4 , bzw. 5. Wie diese Abbildung zeigt, ist die Anzahl der Energieniveaus, die versuchen, sich zu bündeln, durch Erhöhen von m (vergleiche verschiedene Felder dieser Abbildung) proportional zu m = 1. Beispielsweise ist die Anzahl der sich sammelnden Energieniveaus in Feldern (A–D) für m = 2, 3, 4 und 5 sind 1, 2, 3 bzw. 4. Diese gesammelten Energieniveaus werden durch einige Ovale angegeben. Eine weitere Tatsache ist, dass das Energiespektrum mit zunehmender Mandelbrot-Ordnung m zunimmt (sich entlang der Energieachse nach oben verschiebt). Außerdem zeigt Tafel (A) von Abb. 8 acht niedrigste Eigenenergien für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 6 in Abb. 2. Tafeln (B–D) sind die gleichen wie Tafel (A), jedoch für m = 8 , 10 bzw. 12. In dieser Abbildung erweitern sich mit zunehmender Mandelbrot-Ordnung m die gebündelten Energieniveaus, die durch ein Oval in der Tafel (A) angegeben sind, in den folgenden Tafeln zu größeren Intervallen. In Tafel (A) von Abb. 9 haben wir die Variation des Dauerstroms als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit Iterationszahlen m = 2, 3 und 4 Zoll gezeigt Abb. 2. Tafel (B) ist die gleiche wie Tafel (A), aber für m = 5, 6 und 7. Tafel (C) ähnelt ebenfalls Tafel (A), aber für m = 8, 9, und 10. Schließlich ist Panel (D) dasselbe wie Panel (A), aber für m = 11, 12 und 13. In Panel (A) beginnt durch Erhöhen von m der Dauerstrom erzeugt zu werden. Dies liegt daran, dass sich die Wellenfunktion gleichmäßiger entlang der Ringumgebung verteilt und daher die Wahrscheinlichkeit, die Elektronen an mehr Orten entlang des Ringradius zu finden, beträchtlich wird. Durch weiteres Erhöhen von m im Panel (B) erhält der Dauerstrom die Sägezahnform. Die Tafeln (C) und (D) zeigen auch, dass eine starke Erhöhung von m zu ungefähr den gleichen Dauerströmen führt. Dies liegt auch daran, dass wir, wenn wir uns die Abbildungen ansehen. 1 oder 2 zeigt, dass bei großen Werten von m eine Erhöhung von m kleinere Auswirkungen auf die Ringform hat. Daher schließen wir leicht, dass sich der Dauerstrom möglicherweise nicht ändert, wenn sich m ändert. Ein Vergleich der Panels in dieser Abbildung zeigt außerdem, dass die Ringe mit größerem m zu einem Dauerstrom mit größeren Amplituden führen. Dies liegt auch daran, dass die Ringe mit größerem m runder sind und der Strom leichter durch sie fließen kann.

Panel (A): Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 2 in Abb. 2. Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), aber für m = 3, 4, bzw. 5.

Panel (A): Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 6 in Abb. 2. Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), aber für m = 8, 10, bzw. 12.

Panel (A): Variation des Dauerstroms als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit den Iterationszahlen m = 2, 3 und 4 in Abb. 2. Panel (B): Das Gleiche wie das Panel (A), aber für m = 5, 6 und 7. Panel (C): Das Gleiche wie das Panel (A), aber für m = 8, 9 und 10. Panel (D): Das Gleiche wie Tafel (A), jedoch für m = 11, 12 und 13.

In Tafel (A) von Abb. 10 haben wir acht niedrigste Eigenenergien für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 6 in Abb. 3 vom Typ zm in zm dargestellt (ähnlich der ersten Zeile von Abb. 3). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 7, 8 bzw. 9. Ähnlich wie bei Tafel (A) in Abb. 8 dehnen sich die gebündelten Energieniveaus, die durch ein Oval in Tafel (A) angegeben sind, mit zunehmender Mandelbrot-Ordnung m auf größere Intervalle in den folgenden Tafeln (B–D) aus. Tafel (A), Abb. 11 zeigt acht niedrigste Eigenenergien für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 7 in Abb. 3 vom Typ z6 in zm (ähnlich der zweiten Zeile von Abb. 3). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 8, 9 bzw. 10. In dieser Abbildung sehen wir, dass die Energieniveaus in dieser Art von Mandelbrot-Geometrie grob gesagt flussinvariant sind. Hier zeigen die Energieniveaus mit zunehmendem m eine Gesamtabnahme. In dieser Abbildung ist auch die Bündelung des Energieniveaus zu sehen. Darüber hinaus zeigt Panel (A) von Abb. 12 acht niedrigste Eigenenergien für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 11 in Abb. 3 vom Typ zm in z10 (ähnlich der dritten Zeile von Abb. 3). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 12, 13 bzw. 14. Bei dieser Art von Mandelbrot-Ringen werden mit zunehmendem m einige Energielücken geschlossen, die in Bild (A) vorhanden sind. Diese Energielücken werden durch schwarze rechteckige Balken in Bild (A) dargestellt. Die allgemeine Form der Konfiguration des elektronischen Spektrums ändert sich jedoch nicht durch Erhöhung von m. Tafel (A) von Abb. 13 zeigt die Variation des Dauerstroms als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit den Iterationszahlen m = 6, 8, 10 und 12 in Abb. 3 (ähnlich den Strukturen der ersten Reihe). Tafel (B) ist die gleiche wie Tafel (A), aber für m = 11, 12, 13 und 14 für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme vom Typ der Strukturen der zweiten Reihe in Abb. 3. Schließlich ist Tafel (C). Dasselbe wie die Tafel (A), aber für m = 7, 8, 9 und 10 für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme vom Typ der Strukturen der dritten Reihe in Abb. 3. Ein Vergleich verschiedener Tafeln in Abb. 13 zeigt, dass die zm in zm hat den größten Strom unter den untersuchten Systemen, während z6 in zm-Strukturen den geringsten Strom besitzen. In Bild (c) beginnt durch Erhöhen von m die Erzeugung von Wechselstrom. Aufgrund der inhomogenen Wellenfunktion entlang des Quantenrings ist der Strom jedoch schwach und hat weniger Wechselstromcharakter. Siehe Tafel (A) in Abb. 14. Tafeln (A–I) in Abb. 14 zeigen die neun Eigenfunktionen der niedrigsten Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z6 in z10-Struktur. Die Dauerströme in Tafel (B) von Abb. 13 haben sinusförmigen Charakter. Wie man in Abb. 15 sehen kann, sind die elektronischen Wellenfunktionen innerhalb der Ringregionen homogener als in Abb. 14. Die Felder (A–I) in Abb. 15 zeigen die neun Eigenfunktionen mit der niedrigsten Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z10 in Z12-Struktur. Schließlich weisen die zm-in-zm-Ringstrukturen in Tafel (A) von Abb. 13 halbsägezahnförmige Dauerstromkonfigurationen auf. Wie man in Abb. 16 sehen kann, sind die Wellenfunktionen aufgrund der Symmetrie dieses Strukturtyps gleichmäßiger über die Ringbereiche verteilt als bei anderen z6 in zm oder zm in z10 Mandelbrot-Ringstrukturen. Die Tafeln (A–I) von Abb. 16 zeigen die neun Eigenfunktionen niedrigster Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z12 in z12-Struktur.

Panel (A): Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 6 in Abb. 3 vom Typ zm in zm (ähnlich der ersten Zeile). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 7, 8 bzw. 9.

Panel (A): Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 7 in Abb. 3 vom Typ z6 in zm (ähnlich der zweiten Zeile). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 8, 9 bzw. 10.

Panel (A): Acht niedrigste Eigenenergien (meV) für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit Iterationszahlen m = 11 in Abb. 3 vom Typ zm in z10 (ähnlich der dritten Zeile). Die Panels (B–D) sind die gleichen wie Panel (A), jedoch für m = 12, 13 bzw. 14.

Panel (A): Variation des Dauerstroms als Funktion des magnetischen Flusses \(\phi\) für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme mit Iterationszahlen m = 6, 8, 10 und 12 in Abb. 3 vom Typ der Strukturen der ersten Reihe. Bild (B): Das Gleiche wie Bild (A), aber für m = 11, 12, 13 und 14 für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme vom Typ der Strukturen der zweiten Reihe. Bild (C): Das Gleiche wie Bild (A), aber für m = 7, 8, 9 und 10 für einige Mandelbrot-Quantenringsysteme vom Typ der Strukturen der dritten Reihe.

Panels (A–I): Neun Eigenfunktionen niedrigster Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z6 in z10-Struktur.

Panels (A–I): Neun Eigenfunktionen niedrigster Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z10 in z12-Struktur.

Panels (A–I): Neun Eigenfunktionen niedrigster Energie für ein Mandelbrot-Quantenringsystem mit z12 in z12-Struktur.

In dieser Arbeit haben wir das elektronische Spektrum und den Dauerstrom von drei Varianten von Mandelbrot-Quantenringsystemen untersucht. Wir haben einige nicht kontinuierliche flussinvariante Energieniveaus für die Mandelbrot-Quantenringe vom Typ 1 in einigen externen Flussbereichen beobachtet. Ihre Position, der Abstand zwischen ihnen und ihre Anzahl könnten mithilfe der Mandelbrot-Iterationsstufe m angepasst werden. Bei dieser Art von Mandelbrot-Ring verringerte sich die Stromamplitude durch Erhöhen der Mandelbrot-Ordnung m. Mithilfe der Mandelbrot-Ringe vom Typ 2 könnten wir die Energieniveaus bündeln oder in einem größeren Energieintervall erweitern. Die Form des Dauerstroms (Sinus oder Sägezahn) könnte mithilfe der Mandelbrot-Ordnung m eingestellt werden. in z6 in zm Mandelbrot-Ringen, flussinvariante Energieniveaus beobachtet. Das zm in zm (z6 in zm) weist unter den untersuchten Systemen die größte (kleinste) Stromstärke auf.

Die während der aktuellen Studie verwendeten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Universität zu Köln, Köln, Deutschland

Davood Haji Taghi Tehrani

Fakultät für Physik, Technische Universität Qom, Qom, Iran

M. Solaimani

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DHTT lieferte die Programmierung. MS lieferte die Idee und zeichnete die Zahlen auf. Beide Autoren haben das Manuskript geschrieben.

Korrespondenz mit M. Solaimani.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Tehrani, DHT, Solaimani, M. Persistente Ströme und elektronische Eigenschaften von Mandelbrot-Quantenringen. Sci Rep 13, 5710 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-32905-w

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Eingegangen: 11. Oktober 2022

Angenommen: 04. April 2023

Veröffentlicht: 07. April 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-32905-w

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